Portafolio Estudiantil: NOVIEMBRE

FUNCIONES COMPLEJAS

Sea S un conjunto de números complejos. Una función f de variable compleja definida en
S es una regla que asigna a cada número complejo z = x + iy de S, algún número
complejo w = u + iv. El número complejo w se llama valor de f en z y se denota por f (z),
es decir w = f (z), y el conjunto S donde está definida la función f(z) se llama dominio de f.

Se expresa como la función de variable compleja f (z) como la suma
f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) , cuando usamos la representación rectangular.

LUGARES GEOMÉTRICOS

Así tenemos entre las principales

No es posible representar w=f(z) ya que necesitamos cuatro planos ortogonales o
un plano 4D, por lo que representa por parte imaginarias y reales.Se puede representar
los ceros y los polos y ademas curvas de nivel; razar en el plano complejo las curvas
de nivel de la parte real e imaginaria,se lo hace por partes para representar gráficamente
un f(z)

* La parte real Re{f(z)}
* La parte imaginaria Im{f(z)}
* Su módulo |z|
* Su argumento principal
* Mapeo

LIMITES DE FUNCIONES COMPLEJAS

Se utilizan todas las propiedades aprendidas en calculo vectorial, ya que se puede reemplazar z por z=(x+ iy) y se la trata como un límite de dos variables o se puede remplazar por sustitución polar.

Para limites de complejos nos acercamos por el plano complejo es una circunferencia y existen n caminos posibles para acercarse por lo que no hay limites laterales .Todas las propiedades de límites se cumplen y se pueden usar.

CONTINUIDAD

Como en el caso real una función f: A ⊆ C → C se dirá continua en z0 ∈ A si existe el límite de f(z) cuando z → z0 y además limz→z0 f(z) = f(z0).

La función f se dirá continua en A si es continua en todo punto de A. Comono podía ser de otra manera, la continuidad de f ocurre si y sólo si son continuas la funciones coordenadas Re {f} e Im {f}
En resumen:

DISCONTINUIDAD

En este caso la discontinuidad puede ser evitable o no evitable, dependiendo de la existencia del límite.
-> Evitable:
*Existe el lim f (z)de la función , pero es diferente a f(z), evaluada en Zo.
*Existe el lim f (z), pero no está definido f(z)

-> Inevitable:
*El lim f (z) no existe en ese punto.
Cuando es evitable se la puede redefinir y ahi es continua

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPLEJAS:

ECUACIONES DE CAUCHY - RIEMANN

FUNCIÓN ANALÍTICA

Una función compleja f (z) es analítica en zo, si y solo si es derivable para todo z de algún disco o bola abierta de centro zo;

D: |z - z0| < r

Además se puede llegar a la conclusión que es analítica si y solamente si satisface las ECR

Propiedades:

· *Si f(z) = U(x,y) + iV(x,y) es analítica en un dominio D, entonces U, V satisfacen las ECR para todo (x,y) en D.

· *Sea f(z) = U(x,y) + iV(x,y). Si U ^ V y sus derivadas parciales son continuas y además satisfacen las ECR, la función f(z) es analítica.

· *Sea f(z) = U(x,y) + iV(x,y) analítica en un dominio D, entonces U ^ V son armónicas en D, es decir satisface:

INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO

Teniendo en cuenta que :

*z(a) ^ z(b) son los puntos inicial y final respectivamente, o puntos extremos

*Si z(a) = z(b), entonces gamma se llama curva cerrada

*La dirección positiva de gamma es la que determina el orden creciente del parámetro "f"

*Como x(t) ^ y(t) son continuas en [a,b] y también se supone que existe z'(t) = x' (t) + iy'(t) en [a,b] y z'(t) es diferente de 0, para todo z que existe [a,b], entonces la curva gamma es una curva suave.

*Si t1, t2 pertenece [a,b] con z1 y z2 diferentes; t1 < t2 y z(t1) = z(t3), entonces la curva gamma se intercepta así misma (o tiene punto doble).