OCTUBRE

NÚMEROS COMPLEJOS

Todo número complejo puede representarse como la suma

de un número real y un número imaginario se lo puede representar con:

z=(x, y)   ó   z= x+iy

  CONJUNTO DE NÚMEROS

Un número Complejo puede ser:Un imaginario puro si:

z= iy;   x=0

un número real si:

z=x;   y=0

IGUALDAD ENTRE NÚMEROS COMPLEJOS

Dos complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales.

Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos números complejos.

z1 = z2, si y sólo si

a1 = a2 y b1 = b2.

CONJUGADO DE Z

El conjugado de z es el número complejo:

 

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Suma: La suma de  z1 + z2, es el número complejo:

z1 + z2 = (a1 + a2, b2 + b2)

Resta: La resta de  z1 − z2 es el número complejo:

z1 − z2 = (a1 − a2, b2 − b2)

Multiplicación: Sean z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2) dos números complejos. La multiplicación de z1 con z2 es el número complejo:

z1 · z2 = (a1 · a2 − b1 · b2, a1 · b2 + b1 · a2)

Para el caso de una división de números complejos tenemos que tomar en cuenta el siguiente concepto

La división de números complejos que se expresan en forma cartesiana se facilita por un proceso llamado racionalización. La forma de fracción

a+ib

c+id

presenta dificultades, debido a la parte imaginaria del denominador. El denominador se puede forzar a ser real, multiplicando ambos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

a+ib  .   c-ib

c+id      c-ib

Expandiéndolo, se pone de nuevo el resultado de la división en forma cartesiana.

a+ib         =     e+if

c^2+d^2

INVERSOS MULTIPLICATIVOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

Considere el número complejo z = a + b i y supongamos que se cumple que a2 + b2 ≠ 0

POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS

MÓDULO

Sea z = x + y i. Se define el módulo de z como:

POTENCIAS Y RAÍCES

La forma más fácil y de mejor agrado es la forma polar para realizar este tipo de operaciones

o en la forma rCis ; z = r CIS(θ) pueden ser calculadas con la fórmula:

Con la  formula de Moivre nombrada así por Abraham de Moivre    tendríamos:

                        

Demostración teorema de Moivre

EXPONENCIAL DE EULER

La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que :

Por lo que nuestro número complejo queda representado por:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS

LOGARITMOS EN NÚMEROS COMPLEJOS Y LA EXPONENCIAL COMPLEJA